Chương 22 - Tờ Giấy Thay Đổi Vận Mệnh

“Các phương pháp truyền thống — ước lượng năng lượng, nguyên lý cực đại, lý thuyết De Giorgi-Nash-Moser — đều chỉ thu được kết quả cục bộ.”

“Tôi cần kết quả toàn cục.”

Ông nhìn tôi.

“Tư tưởng cắt cụt đệ quy kia của cậu, có thể là một điểm đột phá.”

“Em sao?”

“Phương pháp trong luận văn của cậu, về bản chất là dùng cấu trúc rời rạc để kiểm soát hành vi của các đối tượng liên tục.”

“Nếu đưa tư tưởng này mở rộng vào khuôn khổ của PDE (phương trình đạo hàm riêng) —” Ông lại viết thêm vài dòng trên bảng trắng.

“Hai tháng này, cậu hãy làm cái này.”

“Mỗi tuần tôi sẽ thảo luận với cậu một lần, thời gian còn lại cậu tự suy nghĩ.”

“Vâng.”

“Có câu hỏi gì không?”

“Một câu ạ.”

“Nói đi.”

“Bài toán này nếu được giải quyết, sẽ mang ý nghĩa gì?”

Ông đặt bút xuống.

“Có nghĩa là lý thuyết tính chính quy của PDE đã tiến lên phía trước một bước.”

“Có thể là một bước nhỏ, có thể là một bước lớn.”

“Sức hấp dẫn của Toán học nằm ở chỗ — cậu vĩnh viễn không biết được bước chân mình đi rốt cuộc lớn đến mức nào, cho đến khi bước ra rồi mới biết.”

Hai tháng của tôi ở Harvard, trôi qua còn mệt mỏi hơn cả đi vác gạch.

Bảy giờ sáng mỗi ngày đến khoa Toán, mười giờ đêm mới rời đi.

Một ngày mười lăm tiếng, ngoại trừ ăn cơm đi vệ sinh, toàn bộ đều làm Toán.

Khâu Thành Đồng nói mỗi tuần thảo luận một lần, nhưng trên thực tế hầu như ngày nào ông cũng đi ngang qua văn phòng của tôi để nhìn một cái.

Hai tuần đầu tôi không có chút tiến triển nào.

Hướng đi đúng, nhưng rào cản kỹ thuật quá lớn.

Khuôn khổ của PDE hoàn toàn khác với chuỗi, phương pháp đệ quy của tôi cần phải cải tạo lại tận gốc rễ thì mới có thể áp dụng.

Tuần thứ ba, tôi tìm thấy một con đường cải tạo khả thi — phân tích nghiệm của phương trình đạo hàm riêng theo tần số, sau đó thiết lập hệ thức đệ quy trên từng tầng tần số.

Khâu Thành Đồng xem xong liền nói: “Hướng đi không tồi, nhưng sau khi phân tích tần số, phần hạng tử chéo (cross terms) sẽ xử lý thế nào?”

Hạng tử chéo.

Đây là cơn ác mộng của tất cả các bài toán phi tuyến.

Tôi lại mất thêm hai tuần để xử lý hạng tử chéo.

Thất bại vô số lần.

Hai giờ sáng một ngày ở tuần thứ sáu, tôi ở trong phòng học trống của Science Center, ngẩn người đối mặt với một tấm bảng trắng đã viết kín chữ.

Điện thoại reo.

Tô Vãn.

“Vẫn chưa ngủ à?”

“Sao cậu biết tôi chưa ngủ?”

“Vì mỗi ngày hai giờ sáng cậu đều online.”

“Số bước chân trên Wechat hiển thị cả một ngày cậu chỉ đi có ba trăm bước.”

“Tôi đang suy nghĩ về một ước lượng hạng tử chéo.”

“Đã thử dùng phân tích Paraproduct chưa?”

“Thử rồi.”

“Không được.”

“Sau khi cục bộ hóa tần số, sự tương tác giữa hạng tử tần số thấp và hạng tử tần số cao quá phức tạp.”

Cô ấy im lặng vài giây.

“Cậu gửi công thức cụ thể cho tôi xem thử.”

Tôi chụp một tấm ảnh bảng trắng gửi qua.

Năm phút sau cô ấy trả lời bằng một tin nhắn thoại.

“Cậu đã bao giờ cân nhắc việc không phân tích hạng tử chéo, mà ước lượng trực tiếp sự đóng góp tổng thể của hạng tử chéo chưa?”

“Dùng định lý nhân tử Coifman-Meyer —” Tôi sững sờ.

Coifman-Meyer.

Một công cụ mà tôi từng nghe nói nhưng chưa bao giờ dùng tới.

Tôi trở về tra cứu tài liệu, mất ba ngày để hiểu định lý này, lại mất thêm hai ngày để dung hợp nó vào khuôn khổ của tôi.

Tuần thứ bảy.

Đột phá đã tới.

Định lý Coifman-Meyer không trực tiếp giải quyết vấn đề của hạng tử chéo, mà đã giúp tôi tách hạng tử chéo thành hai bài toán con độc lập — mỗi bài toán con tình cờ lại có thể dùng cấu trúc đệ quy của tôi để giải quyết riêng biệt.

Tôi đã viết sáu tiếng đồng hồ trên bảng trắng.

Kiểm tra từng bước.

Toàn bộ đều đúng.

Sau đó tôi thở hắt ra một hơi sâu, mở hệ thống đặt lịch thảo luận của Khâu Thành Đồng, đặt chỗ (slot) vào sáng ngày hôm sau.

Ngày đầu tiên của tuần thứ tám.

Khâu Thành Đồng mất trọn cả một buổi sáng để xem phần suy luận của tôi.

Xem xong ông không lập tức lên tiếng, mà đứng trước bảng trắng, dùng hai tay làm một động tác khép lại với nhau.

“Cậu đã liên kết hai lý thuyết Toán học vốn dĩ không liên quan gì đến nhau — cấu trúc đệ quy rời rạc và giải tích điều hòa liên tục — lại với nhau rồi.”

“Là Tô Vãn đã nhắc tôi.”

“Cậu ấy bảo thử Coifman-Meyer xem sao —” “Phương pháp là do cậu tìm ra.”

“Lời nhắc nhở chỉ là một bộ kích hoạt (trigger) mà thôi.”

Ông ngồi trở lại.

“Viết thành luận văn đi.”

“Gửi đăng ở đâu ạ?”

“Annals.”

Tôi tưởng mình nghe nhầm.

“Annals of Mathematics?”

“Đúng.”

Một trong bốn tạp chí hàng đầu của Toán học.

Tạp chí có giá trị cao nhất trong lĩnh vực Toán học trên toàn thế giới, không có ngoại lệ.

“Với thân phận sinh viên năm nhất của em, có thể gửi cho Annals sao?”

“Annals nhìn vào chất lượng luận văn, không phải tuổi tác tác giả.”

“Kết quả này của cậu nếu được hoàn thiện, đủ để đăng trên Annals.”

Ông chỉ vào bảng trắng.

“Nhưng vẫn còn một khoảng trống (Gap).”

“Ước lượng toàn cục của cậu hiện tại chỉ đúng trong không gian ba chiều, liệu có thể mở rộng ra số chiều tổng quát (general dimension) không?”

Tôi nhìn công thức đó.

Số chiều tổng quát.